تكامل \( a^x \)

الاشتقاق خطوة بخطوة، تغيير الأساس الأسي، الصيغة، والمراجع

الاشتقاق والتقييم

قيم التكامل غير المحدود:

\[ \int a^x \, dx \]

حيث \( a \) ثابت بحيث \( a > 0 \) و \( a \neq 1 \).

نغير أولاً أساس التعبير الأسي \( a^x \):

ليكن \( y = a^x \) وخذ اللوغاريتم الطبيعي (\( \ln \)) لكلا الطرفين:

\[ \ln y = \ln(a^x) \]

باستخدام خاصية اللوغاريتم \( \ln(a^x) = x \ln a \)، نعيد كتابة هذا كالتالي:

\[ \ln y = x \ln a \]

تطبيق الدالة الأسية على كلا الطرفين يعطي:

\[ y = e^{x \ln a} \]

بما أن \( y = a^x \)، نحصل على المتطابقة:

تحويل الأساس الأسي:
\[ a^x = e^{x \ln a} \]

باستخدام هذه المتطابقة، يمكن إعادة كتابة التكامل المعطى كالتالي:

\[ \int a^x \, dx = \int e^{x \ln a} \, dx \qquad (1) \]

نقوم الآن بتقييم التكامل على الطرف الأيمن باستخدام التعويض:

ليكن \( u = x \ln a \)، مما يعطي \( \dfrac{du}{dx} = \ln a \). بالتعريف [1] [2] [3]، التفاضل هو \( du = \ln a \, dx \)، أو \( dx = \dfrac{1}{\ln a} \, du \).

عوض في التكامل (1):

\[ \int e^{x \ln a} \, dx = \int e^u \left( \dfrac{1}{\ln a} \right) du = \dfrac{1}{\ln a} \int e^u \, du \]

قيم التكامل القياسي \( \int e^u \, du = e^u + c \):

\[ = \dfrac{1}{\ln a} e^u + c \]

حيث \( c \) هو ثابت التكامل.

عوض مرة أخرى بـ \( u = x \ln a \):

\[ = \dfrac{1}{\ln a} e^{x \ln a} + c \]

أخيراً، باستخدام العلاقة \( e^{x \ln a} = a^x \)، نصل إلى صيغة التكامل القياسية:

صيغة التكامل لـ \( a^x \):
\[ \int a^x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} a^x + c \]

المزيد من المراجع والروابط

  1. جدول صيغ التكامل
  2. University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  3. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  4. Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8